Расчет системы

Система — один из видов ставок, доступных игрокам. Это комбинированная ставка, которая состоит из нескольких экспрессов. В отличие от обычного экспресса, система может выиграть, даже если отдельные выборы в комбинации окажутся проигрышными. Рассказываем, как происходит расчет системы, какие виды системы бывают и выгодно ли заключать такие пари.

• Что такое система в ставках
• Как рассчитывается система: пример
• Ограничения систем в разных букмекерских конторах
• Рекомендации опытных игроков
• Преимущества и недостатки
• Система в разных букмекерских конторах

Регистрируйтесь по ссылке и получите бонус до 7000₽!

Что такое система в ставках

Система это ставка, в которую входят от 3 экспрессов. Основная характеристика системы  — размерность. Она записывается двумя числами, например, «2 из 3». Это означает, что в систему будут входить три события, которые объединятся в экспресс по два исхода в каждом. Говоря иначе, будет доступно три комбинации, в которых хотя бы два исхода должны выиграть, чтобы система оказалась выигрышной.

Как рассчитывается система в ставках: пример

Приведем пример расчета ставки типа «Система». Разберем гипотетическую ставку с системой 3 из 4. Сумма такого пари — 1000 рублей. Для составления купона выберем следующие события:

• «Рома» обыграет «Кремонезе» — коэффициент 1,82.
• Мадридский «Реал» окажется сильнее «Барселоны» — коэффициент 2,05.
• «Аталанта» переиграет «Удинезе» — коэффициент 1,71,
• «Хетафе» и «Жирона» сыграют вничью — коэффициент 3,00.

В систему мы включили четыре события. Сумма пари — 1000 рублей. Допустим, что выигрышными оказались 2, 3 и 4 прогнозы. В этом случае, чтобы рассчитать выигрыш, нам нужно перемножить все коэффициенты успешных ставок между собой, а затем умножить на сумму ставки. Так, 2,05*1,71*3,00*1000 = 10 516,5 рублей.

В том случае, если все прогнозы окажутся выигрышными, то сумма выплаты окажется значительно больше. Рассчитывается она так: (1,82*2,05*1,71*1000) + (2,05*1,71*3,00*1000) + (1,82*2,05*3,00*1000) + (1,82*1,71*3,00*1000) = 38 826,6

Говоря иначе, ставки типа «Система» сначала рассчитываются по каждому экспрессу отдельно, после чего суммируется общая сумма выигрыша. В то же время не всегда ставки типа «Система» бывают выгоднее «Экспрессов». Возьмем наш пример, и представим, что собрали экспресс из четырех событий: 1,82*2,05*1,71*3,00*1000 = 19 140 рублей.

Потенциальный выигрыш в экспрессе практически в 2 раза больше, чем в системе. Но учитывайте риски — в ставке типа «Система» у вас есть право на ошибку, а в экспрессе ее нет. По большей части, это оплата страховки, предоставляемой букмекерской конторой для пари с правом на ошибку.

Ограничения систем в разных букмекерских конторах 

Разные букмекерские конторы устанавливают определенные ограничения на ставки типа «Система». Для примера рассмотрим ограничения для таких ставок, предусмотренные в БК «Лига Ставок», «Винлайн» и «Фонбет»:

• «Лига Ставок» — максимальное количество выборов в системе: 16. Максимальный коэффициент — 10001. Минимальная сумма Ставка на систему определяется индивидуально.
• «Винлайн» — максимальное число выборов в системе: 20. Максимальный коэффициент — 5000.00. Минимальная сумма ставки – 100 рублей.
• «Фонбет» — максимальное количество событий, которые игрок может добавить в систему: 16. Минимальная сумма ставки – от 50 до 1001 рубля в зависимости от размерности системы.

Делая ставки типа «Система», учитывайте, что в купон не получится добавить дублирующие и взаимосвязанные события. Например, не выйдет сделать ставку на проход и победу одной и той же команды в плей-офф. Также система должна содержать не менее трех выборов.

Рекомендации опытных игроков по ставкам типа «Система»

Чтобы ставка типа «Система» чаще заканчивались успехом, нежели неудачей, при таких ставках нужно следовать определенным рекомендациям от опытных бетторов. Приводим некоторые из этих советов:

• Букмекерские конторы ограничивают количество событий в экспрессе до 12-20 исходов. Опытные игроки рекомендуют добавлять в систему не более 6-8 событий. В этом случае вероятность выигрыша будет выше.
• Минимальная ставка в системе в разных букмекерских конторах равна 20-100 рублям, максимум, как правило, не ограничивается. Мы рекомендуем не использовать весь банк для ставки типа «Система».
• Делайте ставки на спорт с учетом маржи и прогрузов. Например, букмекеры устанавливают меньшую маржу на популярные события. Прогрузы присущи ставкам на матчи с явным фаворитом — в этом случае мы рекомендуем делать выбор в пользу фаворита за несколько дней до начала матча. Если же вы хотите поставить на аутсайдера, то выгоднее это сделать за 5-10 минут до начала игры.


• Не заключайте ставки на события с коэффициентом от 1.50. Низкие котировки зачастую приводят к постепенному расходованию банка, так как приносят меньшую прибыль при умножении. Опытные игроки советуют включать в систему исходы с коэффициентами от 2.00.
• Не используйте маленькие форматы системы (например, «2 из 3», «3 из 4», «3 из 5»). На дистанции такие ставки не принесут вам выгоды — если вы видите в линии ряд выгодных событий, заключите несколько ординаров.
• Не ставьте на супернадежные системы «2 из 8», «2 из 9», «2 из 10», «2 из 11». Большой прибыли с них вы не получите, но постепенно израсходуете на такие ставки весь банк.
• Сконцентрируйтесь на ставках с большим числом событий. Вероятность выигрыша в таких ставках будет меньше, но это компенсируется общим высоким коэффициентом. Например, для ставок подойдут «10 из 13», «12 из 15», «9 из 10», «13 из 16».

Преимущества и недостатки ставок типа «Система»

Рассмотрим основные преимущества и недостатки ставок типа «Система». Итак, среди преимуществ ставок подобного типа можно отметить:

• Надежность — ставки такого типа безопаснее экспрессов. Вы можете получить возможность допустить ошибку в одном из исходов выбранных матчей. В зависимости от размерности системы разнится и уровень риска такой ставки.


• Высокий коэффициент — потенциально при ставках на спорт типа «Экспресс» можно выиграть больше, чем в системе. Однако высокий коэффициент все равно позволит вам значительно увеличить банк. В особенности, если все события, отмеченные в купоне, были указано верно.
• Большой охват спортивных дисциплин — ставки типа «Система» можно делать на футбол, хоккей, теннис, баскетбол, волейбол и прочие виды спорта. Широкий выбор доступен пользователям всех букмекерских контор.

Что касается недостатков, то к ним относят:

• Большая маржа — букмекер устанавливает большую комиссию на ставки типа «Система». При ставках на спорт на длительной дистанции, из-за маржи, вы можете уйти в минус.
• Неоднозначные выигрыши — игрок, делая ставки типа «Экспресс», только предполагает, какую сумму получит в случае выигрыша. Системы состоят из разных экспрессов, поэтому ожидания от выигрыша не могут совпасть с реальностью. Если, например, заключать ставки только на исходы с низкими котировками, то проход одной или нескольких систем с такими событиями не принесет значительного выигрыша, а то и вовсе уведет вас в минус.

Ставки типа «Система» в разных букмекерских конторах: инструменты, доступные пользователям

Букмекерские конторы в зависимости от функционала, предлагают игрокам различные инструменты, позволяющие рассчитывать ставки типа «Система». Рассмотрим некоторые из них:

— Калькулятор системы в «Фонбет». С помощью этого инструмента вы можете рассчитать возможный выигрыш в ставках типа «Система». В верхней части располагается информация о размерности системы и общем возможном выигрыше при ставке в 100 рублей. Чтобы рассчитать выигрыш, в графе «Исход» нужно ставить или убирать галочки, которые означают, выиграет ли обозначенное в купоне значение, или нет. Если в системе 20 или меньше экспрессов, то калькулятор будет показывать доход от каждого экспресса. Если больше 20 экспрессов, то отображаться будет общее количество экспрессов и число прибыльных из них.

— В БК «Лига Ставок» нет калькулятора системы, но в правом верхнем углу купона отображается возможный выигрыш. При этом расчет ставки зависит от размерности системы — например, если был выбран вариант «4 из 5», и вы снимете галочку возле одного из событий, то размерность системы примет вид «4 из 4». В этом случае не получится посмотреть потенциальный выигрыш.

— В БК Winline тоже нет калькулятора системы. Игрок может посмотреть общий выигрыш при выбранной размерности системы, а также число вариантов, доступных бетторам.

Заключение

Пари типа «Система» могут стать хорошим вариантом разнообразия ставок на спорт. Вы можете делать ставки, и не бояться, что прогнозы по нескольким событиям могут оказаться неверными. Впрочем, профессионалы предпочитают играть на ординарах и экспрессах, а системы в букмекерских конторах чаще делают новички и малоопытные игроки.

Регистрируйтесь по ссылке и получите бонус до 7000₽!

Источник: www.sports.ru

Система расчета ставок на спорт: стоит ли использовать и как рассчитывать?

Система — это комбинированная ставка, состоящая из нескольких экспрессов.

Основные количественные показатели системы указываются при совершении ставки. Размерность записывается двумя числами. К примеру, система 5 из 7 состоит из семи позиций, которые объединяются в экспрессы по пять выборов в каждом. То есть будет 21 комбинация, и хотя бы 5 событий должны выиграть, чтобы выиграла вся система. Сумма ставки при этом распределяется поровну по всем возможным комбинациям.

Другими словами, система — это совокупность экспрессов. Расчет таких ставок — это сумма рассчитанных экспрессов в составе системы. Некоторые букмекерские конторы ограничивают события для каждого экспресса — их может быть от 3 до 12-20.

Пример расчета ставки

Для того чтобы посчитать систему ставок, необходимо произвести расчет каждого экспресса в отдельности. За образец возьмем довольно популярный вид системы — 3 из 4. И рассмотрим, как рассчитывается система в ставках на спорт.

Выбранные события:

• Победа «Интера» в матче с «Миланом» за 2.30.

• Победа «Реала» в матче с «Барселоной» за 2.50.

• Победа «Ливерпуля» в матче с «Эвертоном» за 1.90.

• Победа «Спартака» в матче с «Зенитом» за 3.50.

Мы составляем четыре экспресса по три позиции. Допустим, на всю систему мы выделили 1000 рублей. Чтобы узнать, сколько денег поставлено на каждый экспресс, необходимо всю сумму (1000 рублей) поделить на количество экспрессов (4). В нашем примере на каждый экспресс выделено по 250 рублей.

Экспресс 1

Победа «Интера» за 2.30;

Победа «Реала» за 2.50;

Победа «Ливерпуля» за 1.90.

250 рублей под коэффициент 10.93

Экспресс 2

Победа «Интера» за 2.30;

Победа «Реала» за 2.50;

Победа «Спартака» за 3.50.

250 рублей под коэффициент 20.13

Экспресс 3

Победа «Интера» за 2.30;

Победа «Ливерпуля» за 1.90;

Победа «Спартака» за 3.50.

250 рублей под коэффициент 15.30

Экспресс 4

Победа «Реала» за 2.50;

Победа «Спартака» за 3.50;

Победа «Ливерпуля» за 1.90.

250 рублей под коэффициент 16.63

Допустим, что «Интер» выиграл у «Милана», «Реал» обыграл «Барселону», «Ливерпуль» победил «Эвертон» и только «Спартак» сыграл вничью с «Зенитом». Таким образом, все экспрессы, в которых была ставка на победу «Спартака», проиграли. В нашем случае это экспрессы 2, 3 и 4. Выигрышным оказался только экспресс 1. Умножаем поставленные 250 рублей на коэффициент 10.925 и получаем общий выигрыш 2731,25. Чистая прибыль по системе составит: 2731,25 − 1000 = 1731,25.

Преимущества и недостатки системы

Плюс

Как видим, мы увеличили изначальную сумму в 1000 рублей практически в три раза. Кажется, не так и много, учитывая, что в игре были совсем не лёгкие ставки на победы команд в матчах примерно равных по классу соперников. Однако всё познается в сравнении. Если бы мы поставили эту же тысячу рублей на экспресс, включающий четыре приведённых выбора, то ставка была бы проиграна. Получается, что вместо проигранной 1000 рублей мы имеем чистую прибыль 1731,25. Главный плюс типа ставки система — право на ошибку. Даже если один выбор будет проигран, вся система продолжает играть.

Минусы

С другой стороны, если собрать экспресс из приведённых выше четыреёх пари и поставить туда 1000 рублей, то выигрыш будет куда большим. Поставим следующий экспресс:

• Победа «Интера» в матче с «Миланом» за 2.30.

• Победа «Реала» в матче с «Барселоной» за 2.50.

• Победа «Ливерпуля» в матче с «Эвертоном» за 1.90.

• Победа «Спартака» в матче с «Зенитом» за 3.50.

Общий коэффициент 38.23. Сумма ставки 1000 рублей. В случае выигрыша игрок получит чистую прибыль 38.23 * 1000 − 1000 = 37 230 рублей. Разница очевидна: потенциальный выигрыш при комбинации тех же исходов в экспресс будет несравнимо большим.

Ещё один несомненный минус — сложность восприятия. Одно дело рассчитать систему ставок букмекерской конторы 2 из 3, совсем другое — выделить все возможные варианты системы 14 из 16. Далеко не всем игрокам импонируют столь сложные подсчеты — гораздо проще соорудить понятный экспресс или поставить ещё более очевидный ординар. Также большинство игроков предпочитают при совершении ставки иметь представление о потенциальном выигрыше, который очень сложно рассчитать при, например, системе 8 из 10. Отсутствие итогового коэффициента также отнесём к недостаткам.

Если суммировать, то недостатков всё-таки получается больше.

Преимущества:

• Право на ошибку.

Недостатки:

• Возможный выигрыш при комбинации тех же исходов в экспресс будет больше.

• Сложность восприятия ставки.

• Отсутствует итоговый коэффициент.

Таблица размерности систем

Чем больше событий выбирается, тем на большее количество комбинаций можно совершить ставку. В таблице приведены 24 вида систем, начиная от самых простых. Максимальное количество исходов отличается от букмекера к букмекеру (от 12 до 20 исходов).

Стратегии ставок по системе

Ставки на ничью

Как известно, почти четверть матчей в топ-чемпионатах завершается с ничейным исходом. В то же время букмекер предлагает неплохие коэффициенты на вероятность ничьей в футбольных матчах, которую оценивает котировками от 3.00. 

Выбираем самые «ничейные» команды, исходя из их количества, формируем определённый вид системы (7 из 9, 10 из 12) и болеем. Даже два захода при кэфах от 3.00 позволят претендовать на общий выигрыш.

Ставки на андердогов

Если первая стратегия актуальна только для футбольных матчей, то ставки на андердогов сработают и в других видах спорта. Смысл в том, чтобы выбрать несколько матчей, в которых букмекер явно переоценил возможности фаворита, завысив тем самым коэффициент на андердога. Остаётся лишь составить пари с кэфом события от 3.00. 

Если собраны ставки на андердогов с котировками от 4.00, то вполне достаточно системы 2 из 6, в которой минимальный кэф каждого экспресса будет 16.00 и выше.

Ставки на долгосрочные события

Букмекер щедро оценивает возможность выигрыша команды по итогам чемпионата или Кубка. Бывают исключения, но в основном коэффициенты на долгосрочные события идут от 3.00, что даёт возможность сложить несколько таких исходов в систему. Как это работает? 

1. В начале европейского сезона мы выделяем пять победителей европейских топ-чемпионатов по футболу. Стоит помнить, что нас интересуют кэфы от 3.00, поэтому победа «Баварии» в «Бундеслиге» за 1.80 вряд ли актуальна.

2. Выбираем несколько соответствующих критериям ставки событий, собираем из них пари нужной размерности и болеем за победителей.

Минус этой стратегии состоит в том, что поставленные деньги будут заморожены на долгое время (в нашем случае с сентября до апреля-мая).

Какие ошибки совершают новички?

Ошибка 1: маленькие коэффициенты

Система — это уже своего рода перестраховка. Игроки выбирают этот тип ставок, чтобы иметь право на ошибку. В таком случае перестраховываться в коэффициентах не стоит: выбирать события с коэффициентом меньше 2.00 не рекомендуется, лучше добавить несколько с кэфом от 3.00. 

Общий кэф одного из экспрессов в системе 3 из 4 должен быть не меньше четвёрки, чтобы как минимум вернуть вложенные средства при одном проигранном исходе.

Ошибка 2: неправильные подсчеты

Есть миф, что система выигрывает даже при проигранных ставках. Это так, однако при соблюдении определённых условий. 

Некоторые начинающие игроки не разбивают систему на экспрессы, а ждут мифической прибыли. В этом случае они рискуют отказаться от выигрышной ставки, выдавая её за проигрышную. Также игроки не ведут финансовый отчёт, что приводит к минусу на дистанции. 

Чем система отличается от экспресса в ставках?

Главное отличие — для того чтобы выиграл экспресс, необходим выигрыш всех выбранных исходов, тогда как в системе один или несколько исходов могут проиграть, но это не сделает всю ставку проигрышной. 

Давайте сравним экспресс из четырёх событий и систему 3 из 4. В ситуации, когда сумма ставки была 1000 рублей, исходы трёх событий мы угадали, а одного — нет.

Экспресс 4 позиции

1. Включает четыре исхода.

2. Есть общий коэффициент всей ставки.

3. Если один исход не угадан, то проигран и весь экспресс.

Система 3 из 4

1. Состоит из четырёх экспрессов по три исхода в каждом. 

2. Коэффициент в каждом из экспрессов отличается. 

3. Если три исхода выиграны, а один проиграл, то выигрывает один из экспрессов. А вместе с ним и все пари. 

4. Сумма выигрыша зависит от коэффициента выигранного экспресса.

Источник: Legalbet.ru

Что такое калькулятор системы ставок? Почему использование калькулятора систем экономит ваше время? Почему расчет системы лучше проводить заранее? Вот три главных вопроса, которые следует изучить перед использованием данного калькулятора.

Калькулятор расчета системы – это инструмент, который позволит вам заранее узнать, какую сумму вы выиграете при указанном типе системы, коэффициентах на каждое событие, сумме ставки и событиях, которые зайдут или не зайдут.

Для начала разберемся, что такое система. Отличие от экспресса заключается в возможности проигрыша одного или нескольких исходов. Для простоты понимания разберем на конкретном примере. Самый простой вид называется «система 2 из 3». Вы выбираете три события, но в то же время гарантируете, что минимум два из них пройдут. Скажем сразу, что если пройдет лишь одно событие, то вы теряете всю сумму.

Каждый из трех ваших исходов имеет определенный европейский коэффициент. Пусть это будут котировки 1.9, 2, и 2.1. Соответственно ваша система разбивается на 3 экспресса по два события. То есть:
1.9*2=3.8;
1.9*2.1=3.99;
2*2,1=4.2.
В то же время, 1.9*2*2.1=7.89, пока что просто запомним это число.

---

Система в ставках на спорт — как обыграть БК?

---

На систему ставится общая сумма ставки, поровну делящаяся на количество экспрессов, на которые разбивается система. Допустим, в нашем случае мы ставим 1500 рублей, тогда на все три экспресса будет поставлено по 500 рублей. Так же представим, что в нашей системе прошло только 2 события, но с самыми большими коэффициентами, тогда сумма выигрыша составит 500*4,2=2100 рублей. То есть, 600 рублей чистой прибыли при всего двух пройденных событиях из трех.

Но! Вспоминаем так же про тот самый коэффициент 7.89. В случае если бы мы поставили на обычный экспресс и все три ставки прошли, то наша прибыль составила бы 1500*7.89=11835. Если же все три события проходят в системе, то получается 500*3.8+500*3.99+500*4.2=5955 рублей. Разница подавляющая, но здесь каждый сам для себя решает, что ему важнее: сохранить хотя бы часть денег в случае одного проигрыша или пойти ва-банк.

Но система 2 из 3 это лишь самое простое, что может быть в подобного рода пари. Опытные игроки используют более сложные системы, например, 2 из 4, или 3 из 4, или 3 из 5 и так далее. Даже система 3 из 5 – это всевозможные комбинации трех различных событий из пяти выбранных нами. Наш калькулятор позволяет производить расчет системы до 12 событий и когда дело доходит до нескольких десятков уравнений, то вопрос о целесообразности использования калькулятора вместо работы вручную отпадает, так же как и вопрос об экономии вашего времени.

Осталось разобраться, зачем вообще производить подобные расчеты заранее. Можно же просто поставить систему и узнать результат в конце. С одной стороны, это правильная позиция. Но при выборе нескольких событий может получиться так, что пройдет почти все, а сумма выигрыша на выходе окажется маленькой и тогда вам придется все так или иначе пересчитывать уже постфактум (скорее всего используя калькулятор) и размышлять почему так получилось. Поэтому логичнее выполнять такую операцию заранее и просчитать все возможные варианты.

---

Cтратегия Келли в ставках на спорт. Как применяется критерий Келли? Разберем на примере

---

Чтобы рассчитать возможный выигрыш (конвертер ROI и маржи в ставках) нужно пройти всего несколько простых шагов:
1. Выбрать тип системы (2 из 5, 4 из 5, 3 из 4 и т.д.).
2. Заполнить все значения коэффициентов.
3. Указать сумму, которую собираетесь поставить.
4. Отметить какие события потенциально пройдут, а какие нет.

В итоге калькулятор покажет возможную сумму выигрыша, а переключение выигранных/проигранных событий покажет все комбинации. Теперь вы умеете пользоваться калькулятором букмекерских систем в полном объеме. Удачной игры!
P.S. Для самых внимательных — статья на тему «Что такое вилка и как на ней заработать»

Источник: StavkiPrognozy.ru

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
( left{ begin{array}{l} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + cdots + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + cdots + a_{2n}x_n = b_2 \ cdots \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + cdots + a_{mn}x_n = b_m end{array} right. tag{1} )

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных ( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа (a_{ij} in mathbb{R} ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номером неизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты (a_{ij}) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
( begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ vdots \ a_{m1} end{pmatrix} x_1 + begin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ vdots \ a_{m2} end{pmatrix} x_2 + ldots + begin{pmatrix} a_{1n} \ a_{2n} \ vdots \ a_{mn} end{pmatrix} x_n = begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end{pmatrix} )
или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ),
( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag{2} )

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Обратим внимание на то, что слева в каждом уравнении системы (1) стоит сумма попарных произведений — так же, как и в произведении двух матриц. Если взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (1) можно записать так :
( begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end{pmatrix} = begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end{pmatrix} )
или (Ax=b), где (A) — матрица размера (m times n); (x) — столбец неизвестных; (b) — столбец свободных членов:
( A = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} ,; ) ( X = begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots\ x_n end{pmatrix} ,; ) ( B = begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end{pmatrix} )

Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида (AX=B)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
( A = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} )
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
( (A|B) = left( begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} & b_2 \ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} & b_m end{array} right) )
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангу её расширенной матрицы ( (A|B) ).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = frac{Delta_i}{|A|} ;,quad i=overline{1,n} tag{3} $$
где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Следующая теорема описывает важнейшее свойство множества решений однородной системы (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными.

Теорема. Если столбцы ( X^{(1)}, X^{(2)}, ldots , X^{(s)} ) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения ( X^{(1)}, ldots , X^{(s)} ) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где (n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице (A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( text{rang}A = r ). Тогда существует набор из (k=n-r) решений ( X^{(1)}, ldots , X^{(k)} ) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^{(1)} + ldots + c_kX^{(k)} $$
где постоянные ( c_i ;, quad i=overline{1,k} ), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующую неоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).

Следствие. Пусть (X’) и (X») — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ — X» ) является решением соответствующей однородной системы (AY=0).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная система решений ( X^{(1)}, ldots , X^{(k)} ) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде $$ X = X^circ + c_1 X^{(1)} + c_2 X^{(2)} + ldots + c_k X^{(k)} $$
где ( c_i in mathbb{R} ;, quad i=overline{1,k} ).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

Источник: www.math-solution.ru